Movimiento rectilíneo es el movimiento de un objeto en línea recta. Si existe un sistema de coordenada en dicha recta, y  ''s'' denota la coordenada del objeto en cualquier momento t, entonces la posición del objeto está dada  por una función s = f (t )

Si el movimiento de una partícula p sobre una línea recta está dado por la función s=f (t), ley del movimiento, siendo t ≥0    el     tiempo y    S   la distancia de P a un punto fijo   0    de la trayectoria entonces la velocidad de P, es un instante  t , es:

V= ds/dt= f´ (t) =s´

Si  v ˃ 0, P se mueve en la dirección creciente de s.

Si v ˂ 0, P se mueve en la dirección decreciente de s.

Si v=0,P está en reposo en dicho instante.

La derivada v´ (t) se llama aceleración de P, al tiempo  t  y se denota por:

a(t)=v´(t)=d²s/dt²

Ejemplos:

1-    La ley del movimiento rectilíneo de un cuerpo viene dada por la ecuación s(t)=t³-6t.

(s se mide en metros y    t en segundos). Encuentre su velocidad y aceleración al cabo de 4 segundos.

Solución :

V(t)=ds/dt=3t²-6;para t=4; v=42 m/s

a(t) =dv/dt=6t; para   t=4; a=24 m/s²

Ejemplo 2:

La función de posición de un grupo P sobre una recta coordenada esta dada por

s (t)=t³-12t²-36t-20

donde s(t) se mide en centímetros y  t en segundos

describa el movimiento de P en el intervalo (-1,9)

Solución:

v(t)=s´(t)=3t²-24t+36=3(t-2)(t-6)

a(t)= v´(t)=6t-24=6(t-4)

la velocidad es 0 en t=2    y    t=6

en la siguiente tabla se describe la dirección del movimiento de P.

Ilustraremos el movimiento de P con una curva dibujada arriba de la recta coordenada, para mostrar la manera en que P se mueve sobre la recta coordenada.

Problemas propuestos:

 

Una partícula se mueve  a lo largo de una recta  horizontal de acuerdo a la ecuación indicada, donde s metros es la distancia dirigida  a partir del origen a los t segundos. Determine la velocidad instantánea v (t) metros por segundos a los  t segundos, después calcule v(t)para el valor particular de t(1).

1) s=3t²+1; t (1)=3                          Rep. V (t)=6t; 18

2) s= 1/4t; t(1)    =1/2                      Rep. v (t) =-1/4t²; -1

3) s= 2t³-t²+5; t(1)=-1                      Rep. v(t) = 6t²-2t ; 8

4) s= 2t/4+t ; t(1)=0                        Rep. v(t)   =8/(4+t)² ; ½

Los máximos y mínimos y relativos representan los valores críticos, la derivada en ellos es cero por tener la recta tangente una inclinación nula Ѳ= 0°, es paralela a x. de lo anterior podemos decir:

A)     Habrá un máximo relativo para x= a en f(x) 
   si f’(x) ˃0 para todo valor de x menor pero cercano a   x= a, mientras que f’(x) ˂0 para todo valor de 
   x mayor que x = a pero cercano a   x = a, entonces f(a) es un valor máximo relativo de la función.

B)  Será mínimo relativo  si para  un punto crítico  la derivada  antes  de ese valor tiene signo  negativo
  ( el intervalo es decreciente ) y para valores mayores  a él la derivada es positiva ( intervalo creciente).

Ejemplo #1 

Para  la función f(x) = x²+ 4x -5,

                     F’(x)= 2x +4, haciendo f´(x)=0

Hallaremos el valor crítico así:

                   F’(x) = 2x+4 =0

                            2x=-4

                              X=-2

Para x= -2, la y  tendrá valor de y= (-2)²+4(-2)-5= 4-8-5=-9 al sustituir el valor encontrado en la función dada. El punto crítico es P (-2, -9). A partir de él analizaremos  la función, para valores de x menor y mayor que el valor crítico sabremos en que intervalo la función es creciente y decreciente.

                                 Para x= -2

X<-2                                                      x>-2

F’ (-3)= 2(-3)+4;                             f’ (-1)= 2(-1) +4

         = -6+4                                        = -2+4

         =-2                                             =2
F’(x) es negativa,                             f ’(x) es positiva,

Luego para x<-2                                          luego para x>-2

La función es decreciente.                La función es creciente.

La gráfica de la función es:

Ejemplo#2 :

Y= x³+3x²-8

Paso1:

Y´= 3x²+6x  -----à sacamos la derivada

Paso2:

Y’ = 3x²+6x

0= 3x²+6x

Y’ = 3x²+6x

0= 3x²+6x

0=3x(x+2)      ----à evaluamos los puntos críticos

Igualamos a 0

3x=0                   x+2=0

X=o/3                  x=-2

X=0

Paso 3: evaluamos por la izquierda y por la derecha para ver si empieza por mínimo o máximo en la gráfica.

x= 0  mínimo  
                                  x= -2

Tabla de valores en  y= x³+3X²-8

Gráfica

Concavidad y convexidad

·         Un arco de curva y=f(x) es cóncavo si en cada uno de sus puntos, el arco está situado por encima de la recta tangente. si f’(x)cambia de signo, de negativo a positivo.

·         Un arco es convexo, si en cada uno de sus puntos el arco está situado por debajo de la recta tangente. Si f’(x) cambia de signo de positivo a negativo

Ejemplo#3

Y=x²+2x-3

Y’=2x+2

Si hacemos cero a 2x+2=0

                           2x=-2

                            X=-1

La y tendrá valor y= -4

El punto crítico (-1,-4) y la derivada nos indica la forma de la curva.

Para x=-1

F’(-2)= 2(-2)+2                  f’(0)=2(0)+2

         =-4+2                               =2

         =-2

Como pasa de –a +  es cóncava y el punto crítico


 (-1,-4) es un mínimo.

Punto de inflexión

Un punto de inflexión es un punto en el cual la curva pasa de cóncava a convexa  o viceversa.

Hay punto de inflexión  en una curva sí:

1.     La segunda derivada es cero o no está definida

2.    La segunda derivada cambia de signo en un entorno.

3.    Si la tercera derivada es distinta de cero, cuando existe la tercera derivada.

Ejemplo:

Y=X⁴-6x²

La primera derivada  y’=4x³-12x nos dará los puntos críticos si la hacemos cero.

Y’=4x³-12x

   =4x(x²-3)=0

Donde x=0 y  x=±√3, hay tres puntos críticos:

P1(√3,-9)         P 2(0,0)p3 (√3, -9).

La segunda derivada  es y’’=12x²-12. La hacemos a cero  para encontrar los puntos de inflexión.

12x²-12=0

12(x²-1)=o

            X=±1

Hay dos puntos de inflexión

P4(-1,-5)                         p5(1,-5)

Para asegurar  que hay puntos de inflexión buscamos la tercera derivada. Y’’’=24x, diremos que si hay puntos de inflexión.

Problemas propuestos:

En los siguientes ejercicios a) trace la gráfica de la función y estime los números críticos de la función  gráficamente. (b) confirme la respuesta del inciso analíticamente.

F(x) =x³+7x²-5x                                   Rep.1/3, -5

G(x) =x+1/x²-5x+4                              Rep. -1 + √10, -1 -√10

G(x)=(x- 2)³(x+1)²                                Rep.2,-1,1/5

Encuentre los máximos y mínimos  de las funciones:

     Y=x²-2x+3

                                                             

 Rep. Mínimo     (1,2)

  Y=x³-9x²+15x+3  

                             

 Rep. Mínimo (5,-22)

  Y=x-8x²+2  

                                                          

  Rep. Máximo (0,2) mínimo (2,0) (-2,0)

Si una cantidad y  es una función del tiempo  t   , la razón de cambio de  y  con respecto al tiempo está dado por dy/dt. Cuando dos o más cantidades, todas funciones del tiempo  t, están relacionadas por una ecuación, la relación de su razones de cambio puede hallarse derivando ambos lados de la ecuación.

Sea x  la distancia de la base de la escalera a la base de la pared y sea   y  la distancia de la parte superior de la escalera a la base de la pared. Como la base de la escalera se aleja de la base de la pared a una razón de 3 pies/s, dx/dt = 3 se tiene así q hallar dy/dt cuando   x=7 por el teorema de Pitágoras.

X2+y²= (25)²=625  

esta es la relación entre   x  y  y. derivando ambos lados respecto a  t, se obtiene:

2x dx/dt+2y dy/dt=0

Como dx/dt=3, 6x+2ydy/dt=0 donde

3x+y dy/dt=0

Esta es la ecuación deseada para dy/dt, como x=7 al sustituir x por 7 en la ecuación (1) se tiene 49+y²=625 entonces   y =24.

En la ecuación 2 al remplazar  x y y ´por 7 se obtiene los valores de 21+24 dy/dt=0 por lo tanto dy/dt=-7/8.como dy/dt<0, se concluye q la parte superior de la escalera resbala por la pared a una razón de 7/8 pies/s

Problemas propuestos:

En los siguientes ejercicios x y y  son funciones de la tercera variable  t

1)   Si 2x +3y = 8  y dy/dt=2, obtenga dx/dt                 

Rep: -3

2) Si xy    = 20  y  dy/dt = 10, encuentre dx/dt cuando x =2  Rep: - 2

3) Si √x+√y=5  y dy/dt  =3 obtenga dx/dt cuando x =1 

    Rep: -3/4

 En los ejercicios siguientes, defina precisamente todas las variables como cantidades (números y unidades de medición). Utilice la variable t para representar el tiempo y defina las otras variables de modo que dependan de t. escriba una conclusión.

4) un niño vuela una cometa a una altura de 40pie, y lo hace moviéndose horizontalmente a una tasa de 3 pie /s. si la cuerda está tensa, ¿a qué tasa se afloja cuando la longitud de la cuerda suelta es de 50 pie?

Rep: 9/5pie/s

5) se está formando una bola de nieve de modo que su volumen se incrementa a una tasa de 5m³/min. ¿A qué tasa aumenta el diámetro cuando éste es de 12m?

Rep.1/2pie /min

 En el lenguaje algebraico el Teorema del valor medio es fácil de formular y entender. Dice que si, la gráfica de una función continua tiene una recta tangente, que no sea vertical, en cada punto entre A y B, entonces existe al menos un punto C en la gráfica entre A y B en el cual la recta tangente es paralela a la recta secante AB.

Demostración del teorema:

Primero formularemos el teorema en el lenguaje de funciones y después lo demostraremos.

Teorema A: Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en su interior (a, b), entonces existe al un número c en (a, b) donde:

Ilustración del Teorema

Ejemplo 1

Encuentre el número c garantizado por el Teorema del valor medio para f (x) = 2 √x en [1,4 ]

Solución:

f ‘(x) = 2 . ½ x -1/2 = 1 / √x

f (4) – f (1) = 4-2 =2

4 – 1               3    3

Así resolver entonces  1 = 2

                                 √c    3

La única solución es c = 9/4

Ejemplo 2

Sea f (x) = x3 – x2 - x +1 en [-1, 2]. Encuentre todos los números c que satisfacen la conclusión del Teorema del valor medio.

Solución

F ‘(x) = 3x2 – 2x – 1

f (2) – f (-1) = 3 – 0 = 1

  2 – (-1)              3  

Por tanto debemos resolver  3c2 – 2c -1 = 1

O de manera equivalente,  3c2 – 2c – 2 = 0

Por la fórmula cuadrática, existe dos soluciones: (2 ± √4+26)/6, que corresponden en el intervalo

(-1,2).

Problemas Propuestos

 

En los siguientes ejercicios verifique que la hipótesis del teorema del valor medio es satisfecha por la función en el intervalo indicado [a, b].después obtenga un valor adecuado para c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio.

F(x)=x²+2x-1 [0,1]                                                           Rep:1/2

F(x)=x²          [3,5]                                                              Rep:4

F(x) =x³- x² - x+1 [-1, 2]                                                      Rep: -0.55, 1.22

F(x)= 2√x              [1,4]                                

 Rep: 9/4